Question

8．若函數(shù)f（x）=a^x（a＞0，a≠1）在[-1，2]上的最大值為4，最小值為m，且函數(shù)g（x）=（1-4m）$\sqrt{x}$在[0，+∞）上是增函數(shù)，則m=$\frac{1}{16}$，a=$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)g（x）的單調(diào)性求出m的范圍，在分類討論，根據(jù)指函數(shù)的單調(diào)性，求出a，m的值，問題得以解決

解答 解：∵函數(shù)g（x）=（1-4m）$\sqrt{x}$在[0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，
∴1-4m＞0，
即m＜$\frac{1}{4}$，
∵函數(shù)f（x）=a^x（a＞0，a≠1﹚在區(qū)間[-1，2]上的最大值為4，最小值為m，
當(dāng)a＞1時，函數(shù)f（x）=a^x為增函數(shù)，
∴a^-1=m，a²=4，
解得a=2，m=$\frac{1}{2}$$＞\frac{1}{4}$（舍去），
當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)f（x）=a^x為減函數(shù)，
∴a^-1=4，a²=m，
解得a=$\frac{1}{4}$，m=$\frac{1}{16}$∈（-∞，$\frac{1}{4}$），
綜上所述，a=$\frac{1}{4}$，m=$\frac{1}{16}$
故答案為：m=$\frac{1}{16}$，a=$\frac{1}{4}$，

點評 本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握性質(zhì)很重要，屬于基礎(chǔ)題