Question

13．設(shè)f（x）=$\frac{x}{{e}^{x-1}}$，g（x）=ax+3-3a（a＞0），若對(duì)于任意x₁∈[0，2]，總存在x₀∈[0，2]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，則a的取值范圍是（　　）

• A． [2，+∞）
• B． [1，2]
• C． [0，2]
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 求解當(dāng)x₁∈[0，2]，f（x）=$\frac{x}{{e}^{x-1}}$的值域，x₀∈[0，2]，g（x）=ax+3-3a（a＞0）值域，根據(jù)題意可知f（x）的值域是g（x）的值域的子集．可得a的取值范圍．

解答 解：當(dāng)x₁∈[0，2]，
函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{e}^{x-1}}$，
則f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x-1}}$，
令f′（x）=0，解得：x=1，
當(dāng)x在（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x在（1，2）時(shí)，f′（x）＜0，∴函數(shù)f（x）在（1，）上單調(diào)遞減；
所以：當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得最大值為1．
當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得最小值為0．
故得函數(shù)f（x）的值域M∈[0，1]．
當(dāng)x₀∈[0，2]，
∵a＞0
函數(shù)g（x）=ax+3-3a在其定義域內(nèi)是增函數(shù)
當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)g（x）取得取得最小值為：3-3a．
當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)g（x）取得取得最大值為：3-a．
故得函數(shù)f（x）的值域N∈[3-3a，3-a]．
∵M(jìn)⊆N，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3-3a≤0}\\{3-a≥1}\end{array}\right.$，
解得：1≤a≤2．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用求函數(shù)的值域問(wèn)題，恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式問(wèn)題．屬于中檔題．