Question

20．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且$\sqrt{3}$bcosA=asinB．
（1）求角A的大��；
（2）若a=6，△ABC的面積是9$\sqrt{3}$，求三角形邊b，c的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用正弦定理和同角的商數(shù)關(guān)系，由特殊角的三角函數(shù)值可得A；
（2）運(yùn)用三角形的面積公式和余弦定理，解方程即可得到所求b，c的值．

解答 解：（1）在△ABC中，$\sqrt{3}$bcosA=asinB．
由正弦定理得$\sqrt{3}sinBcosA=sinAsinB$，
∴$tanA=\sqrt{3}$，又0＜A＜π，
∴$A=\frac{π}{3}$．
（2）由S△ABC=9$\sqrt{3}$，得$\frac{1}{2}$bcsin$\frac{π}{3}$=9$\sqrt{3}$，即為bc=36，
由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc-2bccos$\frac{π}{3}$，
即36=（b+c）²-3bc=（b+c）²-108，
解得b+c=12，
由$\left\{\begin{array}{l}bc=36\\ b+c=12\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}b=6\\ c=6\end{array}\right.$，
∴三角形邊b，c的長(zhǎng)都為6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的正弦定理和余弦定理、面積公式的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．