Question

橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點為F₁F₂，離心率為

3

3

，連接橢圓的四個頂點得到的四邊形的面積為2

6

，直線l₁過點F₁且垂直于橢圓的長軸，動直線l₂垂直l₁于點P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點M．
（1）求橢圓G的方程；
（2）求點M的軌跡E的曲線方程；
（3）點A，B為曲線E上異于原點O的兩點，OA⊥OB，

OA

+

OB

=

OC

，求四邊形AOBC的面積最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意可得：

c a = 3 3 2ab=2 6 a2=b2+c2

，解得即可得出；
（2）點M滿足：|MP|=|MF₂|，由拋物線的定義可得：點M是以F₂為焦點，l₁為準線的拋物線，即可得出其軌跡E的方程．
（3）設直線OA，OB的方程分別為：y=kx，y=-

1

k

x．與拋物線方程聯(lián)立解得A(

4

k2

，

4

k

)，同理可得B（4k²，-4k）．可得S=|OA||OB|=

16 k4 + 16 k2

•

16k4+16k2

=16

k2+ 1 k2 +2

，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（1）由題意可得：

c a = 3 3 2ab=2 6 a2=b2+c2

，
解得a²=3，c=1，b²=2．
∴橢圓G的方程為

x2

3

+

y2

2

=1．
（2）點M滿足：|MP|=|MF₂|，
∴點M是以F₂為焦點，l₁為準線的拋物線，
其軌跡E的方程為：y²=4x．
（3）設直線OA，OB的方程分別為：y=kx，y=-

1

k

x．（k≠0）
聯(lián)立

y=kx y2=4x

，解得A(

4

k2

，

4

k

)，同理可得B（4k²，-4k）．
∴S=|OA||OB|=

16 k4 + 16 k2

•

16k4+16k2

=16

k2+ 1 k2 +2

≥32，當且僅當k=±1時取等號．
∴四邊形AOBC的面積最小值為32．

點評：本題考查了橢圓與拋物線的定義標準方程及其性質(zhì)、直線與拋物線交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立、四邊形的面積計算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．