4.函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且周期為2,當(dāng)0≤x≤1時,f(x)=x2,若直線y=x+a與曲線y=f(x)恰有兩個公共點,則實數(shù)a的值為( 。
A.n(n∈Z)B.2n(n∈Z)C.2n或2n-$\frac{1}{4}$(n∈Z)D.n或n-$\frac{1}{4}$(n∈Z)

分析 因為f(x)是定義在R上且周期為2的偶函數(shù),所以當(dāng)-1≤x≤1時,f(x)=x2;畫出函數(shù)圖形,判斷出恰有兩個公共點時的情形.

解答 解:因為f(x)是定義在R上且周期為2的偶函數(shù),所以當(dāng)-1≤x≤1時,f(x)=x2;
①由圖象可知當(dāng)直線y=x+a經(jīng)過點(0,0)時,直線y=x+a與y=f(x)恰有兩個公共點,此時a=0,由于函數(shù)f(x)是周期為2的函數(shù),所以當(dāng)a=2n時,直線y=x+a與曲線f(x)恰有兩個公共點.
②由圖象可知直線y=x+a與f(x)=x2相切時,直線y=x+a與曲線f(x)也恰有兩個公共點.
f'(x)=2x,由f'(x)=2x=1,解得x=$\frac{1}{2}$,所以y=$\frac{1}{4}$,即切點為($\frac{1}{2}$,$\frac{1}{4}$),代入直線y=x+a得a=-$\frac{1}{4}$.
由于函數(shù)f(x)是周期為2的函數(shù),所以當(dāng)a=2n-$\frac{1}{4}$時,直線y=x+a與曲線f(x)恰有兩個公共點.
故選:C

點評 本題主要考查了函數(shù)圖形的基本特征、函數(shù)的基本性質(zhì)、數(shù)學(xué)結(jié)合思想,屬中等題.

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