分析 (1)求導(dǎo),f'(x)=ax2+2bx+c,由題意可知:ax2+(2b-9)x+c=0的兩根為1,2且a>0,列方程組,求得b和c與a的關(guān)系,由ax2+(9-3a)x+2a+7a=0,有兩個實根,可知△=(9-3a)2+4a×9a=0,求得a的值,即可求得f'(x)的解析式;
(2)由(1)可知:f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,即f'(x)=ax2+(9-3a)x+2a≥0的解集為R,可知△=(9-3a)2-8a2≤0,即可求得a的取值范圍.
解答 解:(1)設(shè)$f(x)=\frac{a}{3}{x^3}+b{x^2}+cx+d$,求導(dǎo)則f'(x)=ax2+2bx+c,
∵f'(x)-9x<0的解集為(1,2),
∴ax2+(2b-9)x+c=0的兩根為1,2且a>0,
故$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{9-2b}{a}=3}\\{\frac{c}{a}=2}\end{array}}\right.$,解得:2b=9-3a,c=2a
∴f'(x)+7a=0,即ax2+(9-3a)x+2a+7a=0,
∴ax2+(9-3a)x+9a=0,有兩個相等的實數(shù)根,
∴△=(9-3a)2+4a×9a=0,整理得:a2+2a-3=0,解得a=1(a=-3舍去),
∴f'(x)=x2+6x+2
(2)∵f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增且a>0,
∴f'(x)=ax2+(9-3a)x+2a≥0的解集為R,
∴△=(9-3a)2-8a2≤0,
即a2-54a+81≤0,解得$27-18\sqrt{2}≤a≤27+18\sqrt{2}$
a的取值范圍:[$27-18\sqrt{2},27+18\sqrt{2}$].
點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查一元二次不等式的解法及根的存在性問題,一元二次不等式恒成立問題,考查計算能力,屬于中檔題.
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A. | 2015 | B. | 1008 | C. | 2016 | D. | 1007 |
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A. | 若m∥n,m⊥α,則α⊥β | B. | 若α∥β,m⊥n,則m⊥α | C. | 若α∥β,m?α,則m∥n | D. | 若m∥n,m?α,則α∥β |
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A. | n(n∈Z) | B. | 2n(n∈Z) | C. | 2n或2n-$\frac{1}{4}$(n∈Z) | D. | n或n-$\frac{1}{4}$(n∈Z) |
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