Question

15．求經過點A（-3，2），且與$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$有相同焦點的橢圓的標準方程．

Answer 1

分析 由與$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，求得焦點坐標，設橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-5}=1$，（a²＞5），將A（-3，2）代入方程，求得a的值，求得橢圓的標準方程．

解答 解：由$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，由焦點坐標為（-$\sqrt{5}$，0），（$\sqrt{5}$，0），
由題意可知：設橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-5}=1$，（a²＞5）
將A（-3，2）代入橢圓方程得：$\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{4}{{a}^{2}-5}=1$，
整理得：a⁴-18a²+45=0，解得：a²=15或a²=3，
∴a²=15，
橢圓的標準方程$\frac{x^2}{15}+\frac{y^2}{10}=1$．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單性質，考查計算能力，屬于基礎題．