Question

6．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$與x軸的正半軸交于點A，若在第一象限的橢圓上存在一點P，使得∠PAO=$\frac{π}{6}$（O為坐標原點），則該橢圓離心率的取值范圍是$（\frac{\sqrt{6}}{3}，1）$．

Answer 1

分析 設P（x₀，y₀），（0＜x₀＜a），則$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$=$tan（π-\frac{π}{6}）$，可得${y}_{0}=-\frac{\sqrt{3}}{3}（{x}_{0}-a）$．又$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}$=1，可得（a²+3b²）${x}_{0}^{2}$-2a³x₀+a⁴-3a²b²=0，由題意可得0＜x₀＜a，△＞0，a⁴-3a²b²＞0，解得：$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$的范圍，利用e=$\frac{c}{a}=\sqrt{1-（\frac{a}）^{2}}$即可得出．

解答 解：設P（x₀，y₀），（0＜x₀＜a），則$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$=$tan（π-\frac{π}{6}）$，可得${y}_{0}=-\frac{\sqrt{3}}{3}（{x}_{0}-a）$．
又$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}$=1，可得（a²+3b²）${x}_{0}^{2}$-2a³x₀+a⁴-3a²b²=0，
∵0＜x₀＜a，∴△=4a⁶-4（a²+3b²）（a⁴-3a²b²）＞0，a⁴-3a²b²＞0，
解得：$0＜\frac{^{2}}{{a}^{2}}＜\frac{1}{3}$，
∴e=$\frac{c}{a}=\sqrt{1-（\frac{a}）^{2}}$＞$\sqrt{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，又e∈（0，1），
∴$\frac{\sqrt{6}}{3}＜e＜1$．
∴該橢圓離心率的取值范圍是$（\frac{\sqrt{6}}{3}，1）$．
故答案為：$（\frac{\sqrt{6}}{3}，1）$．

點評 本題考查了橢圓的定義及其標準方程、直線與橢圓相交與判別式的關系、不等式解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．