【題目】如圖，在四棱錐中，底面為矩形，，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，是的中點(diǎn).

（1）在棱上取一點(diǎn)使直線∥平面并證明；

（2）在（1）的條件下，當(dāng)棱上存在一點(diǎn)，使得直線與底面所成角為時(shí)，求二面角的余弦值.

【答案】（1）上取中點(diǎn)，證明見(jiàn)詳解；（2）

【解析】

（1）找上取中點(diǎn)，由線線平行推證線面平行；

（2）根據(jù)線面角的大小找到棱長(zhǎng)的等量關(guān)系，再根據(jù)三垂線定理，找出二面角的平面角，在三角形中求解余弦值即可.

（1）在上取中點(diǎn)，在上取中點(diǎn)，連接，作圖如下：

由于平行且等于，平行且等于，

所以平行且等于，

所以四邊形是平行四邊形，

所以∥.

直線，

，

所以∥平面.

（2）取中點(diǎn)，連接，

由于為正三角形

∴

又∵平面平面，平面平面

∴平面，

連接，四邊形為正方形。

∵平面，

∴平面平面

而平面平面

過(guò)作，垂足為

∴平面

∴為與平面所成角，

∴

在中，，

∴，

設(shè)，，，

∴，

∴

在中，，

∴

∴，，

過(guò)點(diǎn)H作HN垂直于CD，垂足為N，連接MN，HN

因?yàn)?/span>MH平面ABCD,則即為所求二面角的平面角,

在中，因?yàn)?/span>，HN=FC=，

由勾股定理解得

故

故二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)由頻率分布直方圖,估計(jì)這50名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)和平均數(shù)(保留到0.01);

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（1）求圓C的直角坐標(biāo)方程與直線l的普通方程；

（2）設(shè)直線l截圓C的弦長(zhǎng)是半徑長(zhǎng)的倍，求a的值.

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(Ⅰ)試估計(jì)在這50萬(wàn)青年學(xué)生志愿者中，英語(yǔ)測(cè)試成績(jī)?cè)?/span>80分以上的女生人數(shù);

(Ⅱ)從選出的8名男生中隨機(jī)抽取2人，記其中測(cè)試成績(jī)?cè)?/span>70分以上的人數(shù)為X，求的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(Ⅲ)為便于聯(lián)絡(luò)，現(xiàn)將所有的青年學(xué)生志愿者隨機(jī)分成若干組(每組人數(shù)不少于5000)，并在每組中隨機(jī)選取個(gè)人作為聯(lián)絡(luò)員，要求每組的聯(lián)絡(luò)員中至少有1人的英語(yǔ)測(cè)試成績(jī)?cè)?/span>70分以上的概率大于90%.根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)，以頻率作為概率，給出的最小值.(結(jié)論不要求證明)

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