Question

【題目】已知拋物線（）上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)和，焦點(diǎn)為F.線段的中點(diǎn)為，且點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)F的距離之和為8

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若線段的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)C，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）先利用中點(diǎn)公式可得,再根據(jù)拋物線的定義可得,進(jìn)而求解；

（2）,為點(diǎn)到直線的距離,可設(shè)直線:（）,則的中垂線方程為:,可得到點(diǎn)的坐標(biāo),將直線的方程與拋物線聯(lián)立,利用弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng),再利用點(diǎn)到直線距離公式求得,則可得到的面積為關(guān)于的函數(shù),進(jìn)而利用導(dǎo)函數(shù)求得最大值即可.

解:（1）由題意知,

則,

,

拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）設(shè)直線:（）,

由,得,

,即,

即,

,

設(shè)的中垂線方程為:,即,

可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為,

直線:,即,

點(diǎn)C到直線的距離,

令,則（）,

令,

,令,則,

在上；在上,

故在單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,

當(dāng),即時(shí),