Question

17．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（其中b＞0）的圖象過點（1，4），且其值域為[0，+∞）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）-kx在區(qū)間[-2，2]上是單調(diào)函數(shù)，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得f（1）=4，判別式為0，解方程可得a=1，b=2，進(jìn)而得到函數(shù)的解析式；
（2）求出g（x）的對稱軸，討論區(qū)間[-2，2]為增區(qū)間和減區(qū)間，解不等式可得k的范圍．

解答 解：（1）由題意可得f（1）=4，
即為a+b+1=4，即a+b=3，
由值域為[0，+∞），可得△=b²-4a=0，
解得a=1，b=2，（負(fù)的舍去），
則f（x）=x²+2x+1；
（2）g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1，
對稱軸為x=$\frac{k-2}{2}$，
若在區(qū)間[-2，2]上是單調(diào)遞增函數(shù)，
可得$\frac{k-2}{2}$≤-2，解得k≤-2；
若在區(qū)間[-2，2]上是單調(diào)遞減函數(shù)，
可得$\frac{k-2}{2}$≥2，解得k≥6．
即有k的范圍是（-∞，-2]∪[6，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)的解析式的求法，注意運(yùn)用二次函數(shù)的值域，考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題．