Question

18．已知圓C：x²+y²-2x-2y+m=0與兩坐標(biāo)軸都相切，點(diǎn)P在直線l：3x-4y+11=0上，過點(diǎn)P的直線PA，PB與圓C相切于A，B兩點(diǎn)．
（1）求四邊形PACB面積的最小值；
（2）直線l上是否存在點(diǎn)P，使得∠APB=90°？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用圓C：x²+y²-2x-2y+m=0與兩坐標(biāo)軸都相切，求出m．四邊形PACB面積最小時(shí)，PA最小，則CP最小，當(dāng)且僅當(dāng)CP垂直于直線l時(shí)，CP最小，即可求四邊形PACB面積的最小值；
（2）若∠APB=90°，則CP=$\sqrt{2}$，利用CP最小為$\frac{|3-4+11|}{\sqrt{9+16}}$=2，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）圓C：x²+y²-2x-2y+m=0可化為（x-1）²+（y-1）²=2-m，
∵圓C：x²+y²-2x-2y+m=0與兩坐標(biāo)軸都相切，
∴m=1．
四邊形PACB面積最小時(shí)，PA最小，則CP最小，當(dāng)且僅當(dāng)CP垂直于直線l時(shí)，CP最小，最小為$\frac{|3-4+11|}{\sqrt{9+16}}$=2，
∴PA=$\sqrt{3}$，
∴四邊形PACB面積的最小值為2×$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$；
（2）若∠APB=90°，則CP=$\sqrt{2}$，
∵CP最小為$\frac{|3-4+11|}{\sqrt{9+16}}$=2，
∴不否存在點(diǎn)P，使得∠APB=90°．

點(diǎn)評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．