Question

6．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{1}{2}$，P（$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）為橢圓C上的點．
（Ⅰ） 求橢圓C的方程；
（Ⅱ） 若直線y=kx+b（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點A、B，且線段AB的垂直平分線過定點M（$\frac{1}{3}$，0），求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用橢圓的離心率公式和P的坐標滿足橢圓方程，以及a，b，c的關系，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線方程代入橢圓方程，消去y，運用韋達定理和判別式大于0，求得線段AB的中點坐標，求得AB的垂直平分線方程，代入中點坐標，化簡整理，可得k的不等式，解不等式即可得到所求k的范圍．

解答 解：（Ⅰ）依題意，得$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{3}{4^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，故橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，消去y，
得（4k²+3）x²+8kbx+4b²-12=0，
依題意△=（8kb）²-4（3+4k²）（4b²-12）＞0，
即b²＜3+4k²，
而x₁+x₂=-$\frac{8kb}{3+4{k}^{2}}$，則y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2b=$\frac{6b}{3+4{k}^{2}}$，
所以線段AB的中點坐標為（-$\frac{4kb}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{3b}{3+4{k}^{2}}$）．
因為線段AB的垂直平分線的方程為y=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{1}{3}$）．
所以（-$\frac{4kb}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{3b}{3+4{k}^{2}}$）在直線y=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{1}{3}$）上，
即$\frac{3b}{3+4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（-$\frac{4kb}{3+4{k}^{2}}$-$\frac{1}{3}$）．
故4k²+3kb+3=0，則有b=-$\frac{1}{3k}$（3+4k²），
所以$\frac{（3+4{k}^{2}）^{2}}{9{k}^{2}}$＜3+4k²，
故k²＞$\frac{3}{5}$．解得k＜-$\frac{\sqrt{15}}{5}$或k＞$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
所以實數(shù)k的取值范圍是（-∞，-$\frac{\sqrt{15}}{5}$）∪（$\frac{\sqrt{15}}{5}$，+∞）．

點評 本題考查橢圓方程的求法，注意運用離心率公式和點滿足橢圓方程，考查直線的斜率的取值范圍，注意運用直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用判別式大于0和韋達定理，以及中點坐標公式，兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．