Question

已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F（0，1）
（1）求拋物線C的方程；
（2）過點(diǎn)F作直線交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，若直線AO與BO分別交直線l：y=x-2于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)|MN|=

16

7

時(shí)，求直線AB的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)求出p，然后求出拋物線方程．
（2）設(shè)A(x1，

x12

4

)，B(x2，

x22

4

)，求出kAO=

x1

4

，kBO=

x2

4

，聯(lián)立AO的方程與直線l，求出M坐標(biāo)，同理求出N的坐標(biāo)，推出MN的距離表達(dá)式，設(shè)AB：y=kx+1，推出弦長公式求出MN，即可解得k．

解答： （本題14分）解：（1）由已知可得拋物線的方程為：x²=2py（p＞0），且

p

2

=1⇒p=2，
所以拋物線方程是：x²=4y…（2分）
（2）設(shè)A(x1，

x12

4

)，B(x2，

x22

4

)，所以kAO=

x1

4

，kBO=

x2

4

，
所以AO的方程是：y=

x1

4

x，
由

y= x1 4 x y=x-2

      ∴xM=

8

4-x1

，yM=

2x1

4-x1

同理由

y= x2 4 x y=x-2

     ∴xN=

8

4-x2

，yN=

2x2

4-x2

…（4分）
所以|MN|=

( 8 4-x1 - 8 4-x2 )2+( 2x1 4-x1 - 2x2 4-x2 )2

，
|MN|=

64(x1-x2)2 [16-4(x1+x2)+x1x2]2 + 64(x1-x2)2 [16-4(x1+x2)+x1x2]2

|MN|=

128(x1-x2)2 [16-4(x1+x2)+x1x2]2

=

128[(x1+x2)2-4x1•x2] [16-4(x1+x2)+x1x2]2

…（7分）
設(shè)AB：y=kx+1，由

y=kx+1 x2=4y

∴x2-4kx-4=0，…（9分）
∴

x1+x2=4k x1x2=-4

…（10分）
∴|MN|=

128[(x1+x2)2-4x1•x2] [16-4(x1+x2)+x1x2]2

=

128[16k2+16] (16-16k-4)2

=

16

7

化簡得17k²+48k+31=0…（12分）
解得k=-1或k=-

31

17

…（14分）
直線的方程為：y=-x+1或y=-

31

17

x+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與拋物線的位置關(guān)系，弦長公式的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．