Question

4．已知在平面直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}$（t為參數(shù)）．以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的方程是ρ=4cosθ．
（1）將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；
（2）若直線l與曲線C相交于A、B兩點，且|AB|=$\sqrt{14}$，求直線l的傾斜角α的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)基本公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可曲線C的直角坐標方程；
（2）將$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$代入圓的方程得（tcosα-1）²+（tsinα）²=4，得出關于t的方程，設A，B兩點對應的參數(shù)分別為t₁、t₂，利用韋達定理得出t₂t₁，t₁+t₂的值，利用它們之間的轉化關系即可求出AB，繼而求出α．

解答 解（1）由ρ=4cosθ得ρ²=4ρcosθ．
∵x²+y²=ρ²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴曲線C的直角坐標方程為x²+y²-4x=0，即（x-2）²+y²=4．
（2）將$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$代入圓的方程得（tcosα-1）²+（tsinα）²=4，
化簡得t²-2tcosα-3=0．
設A，B兩點對應的參數(shù)分別為t₁、t₂，則$\left\{\begin{array}{l}{t_1}+{t_2}=2cosα\\{t_1}{t_2}=-3.\end{array}\right.$，
∴$|{AB}|=|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{{t_1}+{t_2}}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{4{{cos}^2}α+12}=\sqrt{14}$．
∴4cos²α=2，解得$cosα=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
可得直線l的傾斜角$α=\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$．

點評 本題考查直角坐標方程和極坐標方程的互化，注意運用x=ρcosθ，y=ρsinθ，考查直線參數(shù)方程的運用，注意參數(shù)t的幾何意義，屬于中檔題．