Question

5．求證不等式：-1＜$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{5}$+$\frac{3}{10}$+…+$\frac{n}{{n}^{2}+1}$-lnn≤$\frac{1}{2}$，n∈N^*．

Answer 1

分析 n=1時(shí)，$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{5}$+$\frac{3}{10}$+…+$\frac{n}{{n}^{2}+1}$-lnn=$\frac{1}{2}$，結(jié)論成立；n≥2時(shí)，$\frac{1}{n+1}$＜$\frac{n}{{n}^{2}+1}$＜$\frac{1}{n}$，證明：-1＜$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{5}$+$\frac{3}{10}$+…+$\frac{n}{{n}^{2}+1}$-lnn＜$\frac{1}{2}$，n∈N^*．就是要證明：-1＜$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$-lnn，且$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-lnn＜$\frac{1}{2}$，n≥2，n∈N^*．分別構(gòu)造函數(shù)，即可證明結(jié)論．

解答 證明：n=1時(shí)，$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{5}$+$\frac{3}{10}$+…+$\frac{n}{{n}^{2}+1}$-lnn=$\frac{1}{2}$，滿足：-1＜$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{5}$+$\frac{3}{10}$+…+$\frac{n}{{n}^{2}+1}$-lnn≤$\frac{1}{2}$，
n≥2時(shí)，$\frac{1}{n+1}$＜$\frac{n}{{n}^{2}+1}$＜$\frac{1}{n}$，證明：-1＜$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{5}$+$\frac{3}{10}$+…+$\frac{n}{{n}^{2}+1}$-lnn＜$\frac{1}{2}$，n∈N^*．
就是要證明：-1＜$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$-lnn，且$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-lnn＜$\frac{1}{2}$，n≥2，n∈N^*．
令f（x）=$\frac{1-x}{x}$+lnx，則f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，
當(dāng)x≥1時(shí)，f′（x）≥0，∴f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，
∴n≥2時(shí)：f（$\frac{n}{n-1}$）=ln$\frac{n}{n-1}$-$\frac{1}{n}$＞f（1）=0，
即：$\frac{1}{n}$＜ln$\frac{n}{n-1}$，
∴$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$＜lnn，
∴$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-lnn＜$\frac{1}{2}$．
令g（x）=ln（x+1）-x，則g′（x）=$\frac{1}{x+1}$-1，
當(dāng)x≥1時(shí)，g′（x）＜0，∴g（x）在[1，+∞）上減函數(shù)，
∴n≥2時(shí)：g（$\frac{1}{n}$）=ln$\frac{n+1}{n}$-$\frac{1}{n}$＜g（1）＜0，
即：$\frac{1}{n}$＞ln$\frac{n+1}{n}$，
∴$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$＞ln（n+1）-ln2＞lnn-1
∴-1＜$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$-lnn，
綜上所述，-1＜$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{5}$+$\frac{3}{10}$+…+$\frac{n}{{n}^{2}+1}$-lnn≤$\frac{1}{2}$，n∈N^*．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用構(gòu)造函數(shù)法證明數(shù)列不等式，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，是難題，正確構(gòu)建函數(shù)是關(guān)鍵．