Question

10．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P為其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠F₁PF₂為鈍角時(shí)，點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是（-$\sqrt{6}$，-2）∪（2，$\sqrt{6}$）．

Answer 1

分析 求得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)雙曲線上一點(diǎn)P（x，y），若雙曲線上一點(diǎn)P使得∠F₁PF₂為鈍角，則$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$＜0，由此列不等式，注意運(yùn)用P滿足雙曲線的方程和雙曲線的范圍，即可解得P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的焦點(diǎn)為F₁（-2$\sqrt{2}$，0），F(xiàn)₂（2$\sqrt{2}$，0），
設(shè)P（x，y），
可得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-x-2$\sqrt{2}$，-y），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（2$\sqrt{2}$-x，-y），
∵∠F₁PF₂為鈍角，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$＜0，
∴cos∠F₁PF₂＜0，
∴（-x-2$\sqrt{2}$，-y）•（2$\sqrt{2}$-x，-y）＜0，
即x²+y²-8＜0，
又x²-y²=4，
∴y²=x²-4，即有x²＜6，
解得-$\sqrt{6}$＜x＜$\sqrt{6}$，
又x＞2或x＜-2，
可得x∈（-$\sqrt{6}$，-2）∪（2，$\sqrt{6}$）．
故答案為：（-$\sqrt{6}$，-2）∪（2，$\sqrt{6}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及向量知識(shí)，解題時(shí)要能熟練運(yùn)用雙曲線的方程和范圍，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．