Question

15．已知雙曲線C：${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$的左、右焦點分別是F₁，F(xiàn)₂，若A是雙曲線右支上一點且滿足$∠{F_1}A{F_2}={60^o}$，則${S_{△{F_1}A{F_2}}}$=（　　）

• A． $3\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $2\sqrt{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 利用雙曲線的定義，可求得|AF₁|-|AF₂|=2a=2，|F₁F₂|=2c=4，先由余弦定理求得|AF₁|•|AF₂|=12，再利用△F₁AF₂的面積S=$\frac{1}{2}$|AF₁|•|AF₂|sin∠F₁AF₂，計算即可得到所求值．

解答 解：雙曲線C：${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$的a=1，b=$\sqrt{3}$
可得c²=a²+b²=4，
又|AF₁|-|AF₂|=2a=2，|F₁F₂|=2c=4，∠F₁AF₂=60°，
在△F₁AF₂中，由余弦定理得：
|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²-2|AF₁|•|AF₂|cos∠F₁AF₂
=（|AF₁|-|AF₂|）²+|AF₁|•|AF₂|，
即4c²=4a²+|AF₁|•|AF₂|，
可得|AF₁|•|AF₂|=4b²=12，
即有△F₁AF₂的面積S=$\frac{1}{2}$|AF₁|•|AF₂|sin∠F₁AF₂=$\frac{1}{2}$×12×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，著重考查雙曲線的定義與a、b、c之間的關(guān)系式的應(yīng)用，考查三角形的面積公式，考查轉(zhuǎn)化思想與運算能力，屬于中檔題．