Question

若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|≤|y-m|，則稱x比y更接近m．
（1）若x²-3比1更接近0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個正數(shù)a、b，試判斷(

a+b

2

)2與

a2+b2

2

哪一個更接近ab？并說明理由；
（3）當a≥2且x≥1時，證明：

e

x

比x+a更接近lnx．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,絕對值不等式的解法

專題：計算題,新定義,不等式的解法及應用

分析：（1）由新定義可得|x²-3|≤1，由絕對值不等式的解法，即可得到解集；
（2）方法一、運用新定義作差比較，即可得到；
方法二、運用基本不等式，即可比較；
（3）令p(x)=

e

x

-lnx，q(x)=x+a-lnx，分別求出單調性，再討論①當1≤x≤e時，②當x＞e時，再由新定義作差比較即可得證．

解答： 解：（1）依題意可得|x²-3|≤1?-1≤x²-3≤1?-2≤x≤-

2

或

2

≤x≤2，
∴x的取值范圍為[-2，-

2

]∪[

2

，2]；
（2）解法一：∵|(

a+b

2

)2-ab|-|

a2+b2

2

-ab|=|

(a-b)

4

2|-|

(a-b)2

2

|
=

(a-b)2

4

-

(a-b)2

2

=-

(a-b)2

4

≤0，
即|(

a+b

2

)2-ab|≤|

a2+b2

2

-ab|，
∴(

a+b

2

)2比

a2+b2

2

更接近ab；
解法二：∵對任意兩個正數(shù)a、b，有(

a+b

2

)2≥ab，

a2+b2

2

≥ab，
∴|(

a+b

2

)2-ab|-|

a2+b2

2

-ab|=(

a+b

2

)2-

a2+b2

2

=-

(a-b)2

4

≤0，
即|(

a+b

2

)2-ab|≤|

a2+b2

2

-ab|，
∴(

a+b

2

)2比

a2+b2

2

更接近ab；
（3）證明：令p(x)=

e

x

-lnx，q(x)=x+a-lnx，
則p（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調遞減，且p（e）=0，
由q′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

，得當x≥1時，q'（x）≥0，
∴q（x）在[1，+∞）上單調遞增，且當x≥1時，有q（x）≥q（1）=0，
①當1≤x≤e時，∵p（x）≥0，a≥2，
∴|p(x)|-|q(x)|=

e

x

-lnx-(x+a-lnx)=

e

x

-x-a≤e-1-2＜0．
∴

e

x

比x+a更接近lnx．
②當x＞e時，
方法一：∵p（x）＜0，q（x）＞0．，
∴|p(x)|-|q(x)|=lnx-

e

x

-(x+a-lnx)=2lnx-

e

x

-x-a＜2lnx-x-2．
令f（x）=2lnx-x-2，則f′(x)=

2

x

-1=

2-x

x

．當x＞e時，f'（x）＜0．
∴f（x）在區(qū)間（e，+∞）單調遞減，當x＞e時，f（x）＜f（e）=-e＜0
綜上可知，當x≥1時，|

e

x

-lnx|-|x+a-lnx|≤0．即|

e

x

-lnx|≤|x+a-lnx|．
∴

e

x

比x+a更接近lnx．
方法二：當x＞e時，∵p（x）＜0，q（x）＞0．
∴|p(x)|-|q(x)|=lnx-

e

x

-(x+a-lnx)=2lnx-

e

x

-x-a，
令f(x)=2lnx-

e

x

-x-a，則f′(x)=

2

x

-1+

e

x2

=-

x2-2x-e

x2

．
令f'（x）=0，解得x1=1+

1+e

，x2=1-

1+e

，
∵x＞e∴x2=1-

1+e

不合舍去，
∵（e-1）²＜1+e，∴e-1＜

1+e

∴x₁＞e
∵當e＜x＜x₁時，f'（x）＞0．當x＞x₁時，f'（x）＜0．
∴f（x）在區(qū)間（e，x₁）單調遞增，在（x₁，+∞）單調遞減，又e＜x₁＜3
∴當x＞e時，f(x)≤f(x1)=2lnx1-

e

x1

-x1-a＜2ln3-e-2＜0．
綜上可知，當x≥1時，|

e

x

-lnx|-|x+a-lnx|≤0．即|

e

x

-lnx|≤|x+a-lnx|．
∴

e

x

比x+a更接近lnx．

點評：本題考查新定義的理解和運用，考查絕對值不等式的解法和性質的運用，考查構造函數(shù)，運用導數(shù)判斷單調性，進而得到兩數(shù)的大小關系，屬于中檔題和易錯題．