Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x滿足f（x）=-f（x+1），且當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x（1-x），若關(guān)于x的方程f（x）=kx有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（5-2$\sqrt{6}$，1）∪{2$\sqrt{2}-3$}．

Answer 1

分析 先確定函數(shù)f（x）為周期函數(shù)，再將問題等價(jià)方程f（x）僅有唯一實(shí)數(shù)根，并結(jié)合函數(shù)的圖象與判別式得出k的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=-f（x+1），∴f（x+2）=f（x），
即f（x）是以2為周期的函數(shù)，
因?yàn)�，�?dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x（1-x），
所以，x∈[-1，0]時(shí)，x+1∈[0，1]，
所以，f（x）=-f（x+1）=x（x+2），
∴f（x）在一個(gè)周期內(nèi)的解析式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（1-x），x∈[0，1]}\\{x（1+x），x∈[-1，0]}\end{array}\right.$，如右圖，
依題意，方程f（x）=kx有三個(gè)不等的實(shí)根，
則該方程一根為負(fù)，一根為正，一根為0，即f（x）=kx只有唯一一個(gè)正實(shí)數(shù)根，
當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，x-2∈[0，1]，
所以，f（x）=f（x-2）=（x-2）（3-x），
令（x-2）（3-x）=kx，整理得，x²+（k-5）x+6=0，
由△=0，解得k=5-4$\sqrt{6}$（舍k=5+4$\sqrt{6}$），
此時(shí)，直線y=（5-4$\sqrt{6}$）x與f（x）的圖象相切，共有5個(gè)交點(diǎn)，如圖長虛線直線，
所以，k＞5-4$\sqrt{6}$，------------------①
另一方面，函數(shù)f（x）=x（1-x）在x=0處的導(dǎo)數(shù)為f'（0）=1，
即直線y=x與f（x）的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，如圖短虛直線，
所以，k＜1，------------------------②
當(dāng)1＜x＜2時(shí)，-1＜x-2＜0，f（x-2）=（x-2）（x-1），可得f（x）=f（x-2）=x²-3x+2，
由x²-3x+2=kx，可得判別式為（3+k）²-8=0，
解得k=2$\sqrt{2}$-3（-2$\sqrt{2}$-3舍去），
當(dāng)直線y=kx（k＜0）與y=f（x）相切可得2$\sqrt{2}$-3．
綜合以上討論得，k∈（5-2$\sqrt{6}$，1）．
故答案為：（5-2$\sqrt{6}$，1）∪{2$\sqrt{2}-3$}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，涉及函數(shù)周期性的判斷與應(yīng)用，函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，屬于中檔題．