分析 (1)令g(x)=f′(x)=ex-2ax-2,求得g(x)導(dǎo)數(shù),討論當(dāng)a≤0 時,當(dāng)a>0時,由導(dǎo)數(shù)大于0,可得增區(qū)間;導(dǎo)數(shù)小于0,可得減區(qū)間;
(2)f′(x)min=g(x)min=g(ln2a)=eln2a-2aln2a-2=2a-2aln2a-2,令G(x)=x-xlnx-2(x>0),求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間,可得G(x)的最大值,即可得證;
(3)f(x)>0恒成立,等價于f(x)min>0恒成立.令g(x)=f′(x)=ex-2ax-2,求出g(x)的零點所在區(qū)間,得到f(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值,即f(x)min=f(x0)=ex0-ax02-2x0+b>0恒成立,且ex0-2ax0-2=0,再由參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)法,即可得到b的范圍,進而得到最小整數(shù)b.
解答 解:(1)令g(x)=f′(x)=ex-2ax-2,則g′(x)=ex-2a…(1分)
當(dāng)a≤0 時,g′(x)>0恒成立,此時f′(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,+∞);
當(dāng)a>0,令g′(x0)=0,解得x0=ln2a,
則當(dāng)x<ln2a時,g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x>ln2a時,g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;…(2分)
綜上所述,當(dāng)a≤0時,f′(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,+∞);
當(dāng)a>0時,f′(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(ln2a,+∞);…(3分)
(2)證明:由(1)可知,當(dāng)a>0時,x0=ln2a時,f′(x)有最小值,
則f′(x)min=g(x)min=g(ln2a)=eln2a-2aln2a-2=2a-2aln2a-2…(4分)
令G(x)=x-xlnx-2(x>0),G′(x)=1-(1+lnx)=-lnx,
當(dāng)x∈(0,1)時,G′(x)>0,G(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(1,+∞)時,G′(x)<0,G(x)單調(diào)遞減,…(5分)
∴G(x)max=G(1)=-1<0,∴f′(x)min<0成立.…(6分)
(3)f(x)>0恒成立,等價于f(x)min>0恒成立.
令g(x)=f′(x)=ex-2ax-2,則g′(x)=ex-2a,
∵a<0,∴g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,
又g(0)=-1<0,g(1)=e-2a>0,
∴存在x0∈(0,1),使得g(x0)=0…(7分)
則x<x0時,g(x)=f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;
x>x0時,g(x)=f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;
∴f(x)min=f(x0)=ex0-ax02-2x0+b>0恒成立,且ex0-2ax0-2=0
由上可知,b>-ex0+ax02+2x0=-ex0+x0($\frac{{e}^{{x}_{0}}}{2}$-1)+2x0=($\frac{{x}_{0}}{2}$-1)ex0+x0…(9分)
又可得,a=$\frac{{e}^{{x}_{0}}-2}{2{x}_{0}}$<0,∴x0∈(0,ln2)…(10分)
令m(x)=($\frac{1}{2}$x-1)ex+x,x∈(0,ln2),
令n(x)=m′(x)=$\frac{1}{2}$(x-1)ex+1,n′(x)=$\frac{1}{2}$xex>0,
∴n(x)>n(0)=$\frac{1}{2}$>0,∴m(x)單調(diào)遞增,m(x)>m(0)=(-1)e0=-1,
m(x)<m(ln2)=($\frac{ln2}{2}$-1)eln2+ln2=2ln2-2…(11分)
∴b>-1,∴符合條件的最小整數(shù)b=0…(12分)
點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用:求單調(diào)性和最值,考查不等式恒成立問題的解法,以及構(gòu)造函數(shù)法,考查化簡整理的運算能力,屬于綜合題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | [-1,0)∪(0,+∞) | B. | (-1,0)∪(0,+∞) | C. | [-1,+∞) | D. | (0,+∞) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 6 | B. | 12 | C. | 18 | D. | 36 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 5 | B. | $\sqrt{5}$ | C. | $\sqrt{17}$或$\frac{\sqrt{17}}{4}$ | D. | $\sqrt{17}$或$\frac{\sqrt{17}}{2}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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