Question

【題目】已知二次函數(shù)對(duì)稱軸方程為，在上的奇函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）判斷方程的根的個(gè)數(shù)，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）3個(gè)零點(diǎn)

【解析】

（1）根據(jù)對(duì)稱軸方程求出a，通過函數(shù)的奇偶性求出g（x）的表達(dá)式即可；（2）在同一個(gè)坐標(biāo)系中，作出函數(shù)與的圖像，根據(jù)兩個(gè)圖象結(jié)合零點(diǎn)存在定理判斷出根的個(gè)數(shù)．

由二次函數(shù)對(duì)稱軸方程為，可得：,所以.

由時(shí)，，即：

設(shè)則，所以， 即：

又因?yàn)?/span>是奇函數(shù)，所以，所以

即：

由是奇函數(shù)可知，當(dāng)時(shí)，

所以，

當(dāng)時(shí)，與的圖像可知：

兩函數(shù)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，與的圖像沒有交點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且函數(shù)單調(diào)遞增，又，又

可知在上有一個(gè)根且1亦為它的一個(gè)根

綜上所述方程的有3個(gè)根。