Question

9．定義D上函數(shù)f（x）滿足：如果對任意x₁，x₂∈D，都有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≥$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，則稱f（x）是D上的凸函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)y=$\sqrt{x}$是否為凸函數(shù)？為什么？
（2）若函數(shù)f（x）=log_ax在（0，+∞）上是凸函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，當x∈（0，1]時，不等式f（mx²+x）≤0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)y=$\sqrt{x}$是凸函數(shù)．運用分析法，設x₁，x₂∈[0，+∞），由新定義即可得到結論；
（2）由凸函數(shù)的定義，結合對數(shù)函數(shù)和基本不等式即可得到a＞1；
（3）由題意可得0＜mx²+x≤1，運用參數(shù)分離可得-$\frac{1}{x}$＜m≤$\frac{1-x}{{x}^{2}}$在x∈（0，1]恒成立，分別求得左右兩邊的最值，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）函數(shù)y=$\sqrt{x}$是凸函數(shù)．
理由是設x₁，x₂∈[0，+∞），$\sqrt{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$≥$\frac{1}{2}$（$\sqrt{{x}_{1}}$+$\sqrt{{x}_{2}}$），即為：
$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$≥$\frac{1}{4}$（x₁+x₂+2$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$），
即為x₁+x₂≥2$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$，由均值不等式可得顯然成立；
（2）函數(shù)f（x）=log_ax在（0，+∞）上是凸函數(shù)，可得：
log_a$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$≥$\frac{1}{2}$（log_ax₁+log_ax₂）=log_a$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$
由x₁+x₂≥2$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$，可得a＞1；
（3）當x∈（0，1]時，不等式f（mx²+x）≤0恒成立，即為：
log_a（mx²+x）≤0，即有0＜mx²+x≤1，
可得-$\frac{1}{x}$＜m≤$\frac{1-x}{{x}^{2}}$在x∈（0，1]恒成立，
由-$\frac{1}{x}$∈（-∞，-1]，可得m＞-1；
由$\frac{1-x}{{x}^{2}}$=（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{x}$≥1時，可得$\frac{1-x}{{x}^{2}}$≥0，
可得m≤0．
可得-1＜m≤0．

點評 本題考查新定義的理解和運用，考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的運用，以及不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．