Question

6．已知奇函數(shù)f（x）是定義在R上的連續(xù)函數(shù)，滿足f（2）=$\frac{5}{3}$，且f（x）在（0，+∞）上的導(dǎo)函數(shù)f'（x）＜x²，則不等式f（x）＞$\frac{{{x^3}-3}}{3}$的解集為（-∞，2）．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-$\frac{1}{3}$x³+1，則F（x）為減函數(shù)，且F（0）=0，從而得出f（x）＜$\frac{1}{3}$x³-1即F（x）＜0的解集．

解答 解：設(shè)F（x）=f（x）-$\frac{1}{3}$x³+1，∵f'（x）＜x²
∴F′（x）=f′（x）-x²＜0，
∴F（x）在（0，+∞）上遞減，
又F（2）=f（2）-$\frac{{2}^{3}-3}{3}$=0，
故不等式的解集是：（-∞，2），
故答案為：（-∞，2）．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，奇函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．