Question

【題目】已知數(shù)列的前項和為，，且對任意的正整數(shù)，都有，其中常數(shù)．設﹒

（1）若，求數(shù)列的通項公式；

（2）若且，設，證明數(shù)列是等比數(shù)列；

（3）若對任意的正整數(shù)，都有，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析（3）

【解析】

試題（1）先根據(jù)和項與通項關系，將條件轉化為，即，再根據(jù)題設條件進行構造數(shù)列：，即，最后根據(jù)等差數(shù)列定義得證（2）先根據(jù)等比數(shù)列定義明確目標：為一個常數(shù)，因此利用，代入化簡得為，因此是首項為，公比為的等比數(shù)列，（3）先化簡不等式，實質討論數(shù)列：當時，，當且時，．若，則，然后分別解不等式，難點在當且時，需分類討論：若時，，，，，不符合，舍去．若時，，，，只須即可，顯然成立．故符合條件；若時，，，從而，故，只須即可，于是．

試題解析：解：∵，，

∴當時，，

從而，，﹒

又在中，令，可得，滿足上式，

所以，﹒

（1）當時，，，

從而，即，

又，所以數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列，

所以．

（2）當且且時，

，

又，

所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，﹒

（3）在（2）中，若，則也適合，所以當時，．

從而由（1）和（2）可知

當時，，顯然不滿足條件，故．

當時，．

若時，，，，，不符合，舍去．

若時，，，，，且．

所以只須即可，顯然成立．故符合條件；

若時，，滿足條件．故符合條件；

若時，，，從而，，

因為．故， 要使成立，只須即可．

于是．

綜上所述，所求實數(shù)的范圍是．