Question

4．已知$0＜α＜\frac{3π}{4}$，且$sin（α-\frac{π}{4}）=\frac{3}{5}$，則cos2α=$-\frac{24}{25}$．

Answer 1

分析 將已知等式左邊利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，求出sinα-cosα的值，兩邊平方并利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)求出2sinαcosα的值大于0，由α的范圍，得到sinα大于0，cosα大于0，利用完全平方公式求出sinα+cosα的值，將所求式子利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用平方差公式變形，將各自的值代入即可求出值．

解答 解：∵sin（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinα-cosα）=$\frac{3}{5}$，
∴sinα-cosα=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，
∴（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=$\frac{18}{25}$，即2sinαcosα=$\frac{7}{25}$＞0，
∵$0＜α＜\frac{3π}{4}$，
∴sinα＞0，cosα＞0，即sinα+cosα＞0，
∴（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=$\frac{32}{25}$，
∴sinα+cosα=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$，
則cos2α=cos²α-sin²α=（cosα+sinα）（cosα-sinα）=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$×（-$\frac{3\sqrt{2}}{5}$）=$-\frac{24}{25}$．
故答案為：$-\frac{24}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及完全平方公式的運(yùn)用，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．