Question

14．平面向量$\overrightarrow{m}$=（2sinωx，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（2cos（ωx+$\frac{π}{3}$），1）（ω＞0），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$的最小正周期是π．
（Ⅰ）求f（x）的解析式和對(duì)稱軸方程； 
（Ⅱ）求f（x）在$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{6}}]$上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，兩角和差公式以及二倍角的正弦公式、余弦公式可得f（x）的解析式，再由正弦函數(shù)的周期和對(duì)稱軸，即可得到所求；
（Ⅱ）由x∈$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{6}}]$，可得2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到所求最值，進(jìn)而得到所求值域．

解答 解：（Ⅰ）向量$\overrightarrow{m}$=（2sinωx，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（2cos（ωx+$\frac{π}{3}$），1）（ω＞0），
函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=4sinωxcos（ωx+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$
=4sinωx（$\frac{1}{2}$cosωx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx）+$\sqrt{3}$=sin2ωx+$\sqrt{3}$（1-2sin²ωx）
=sin2ωx+$\sqrt{3}$cosωx=2sin（2ωx+$\frac{π}{3}$），
由T=$\frac{2π}{2ω}$=π，可得ω=1，即f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
由2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，可得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
則對(duì)稱軸為x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z；
（Ⅱ）由x∈$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{6}}]$，可得2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
由2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{12}$時(shí)，sin（2x+$\frac{π}{3}$）取得最大值1，
2x+$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{6}$，即x=-$\frac{π}{4}$時(shí)，sin（2x+$\frac{π}{3}$）取得最大值-$\frac{1}{2}$，
可得sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
f（x）在$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{6}}]$上的值域?yàn)閇-1，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，以及三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的周期和對(duì)稱性，圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．