Question

比較2ⁿ•n!與（n+1）ⁿ（n∈N^*）的大小關(guān)系，并給出證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

專題：推理和證明,二項(xiàng)式定理

分析：檢驗(yàn)可得2ⁿ•n!≤（n+1）ⁿ，再利用數(shù)學(xué)歸納法、二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式進(jìn)行證明．

解答： 解：當(dāng)n=1時(shí)，2ⁿ•n!=2，（n+1）ⁿ =2，2ⁿ•n!=（n+1）ⁿ．
當(dāng)n=2時(shí)，2ⁿ•n!=8，（n+1）ⁿ =9，2ⁿ•n!＜（n+1）ⁿ．
當(dāng)n=3時(shí)，2ⁿ•n!=48，（n+1）ⁿ =64，2ⁿ•n!＜（n+1）ⁿ．
當(dāng)n=4時(shí)，2ⁿ•n!=384，（n+1）ⁿ =625，2ⁿ•n!=（n+1）ⁿ．
…
猜2ⁿ•n!≤（n+1）ⁿ．
證明：當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立．
設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，k∈N，結(jié)論成立，即 2^k•k!≤（k+1）^k．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=2^k+1•（k+1）!=2（k+1）•2^k•k!≤（2k+2）•（k+1）^k =2•（k+1）^k+1 ，
右邊=（k+1+1）^k+1 =

C

0 k+1

•（k+1）^k+1 +

C

1 k+1

•（k+1）^k +

C

2 k+1

•（k+1）^k-1+…+1=2•（k+1）^k+1 +

C

2 k+1

•（k+1）^k-1+…+1，
故當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊小于右邊，故所猜的結(jié)論正確．
綜上可得，2ⁿ•n!≤（n+1）ⁿ 成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，屬于中檔題．