【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,沿其對角線BD將折起至,使得點在平面ABCD內(nèi)的射影恰為點B,點E為的中點.
(Ⅰ)求證:平面BDE;
(Ⅱ)若,求與平面BDE所成的角.
【答案】(Ⅰ)證明見解析(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)連接交于點,連接,證得,再結(jié)合線面平行的判定定理,即可證得平面;
(Ⅱ)通過線面垂直來證明面面垂直,結(jié)合根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理來得到線面垂直,從而得到是與平面所成的角,在中,即可求解.
(Ⅰ)如圖所示,連接交于點,則為的中點,
連接,因為點為的中點,則,
且平面,平面,所以平面.
(Ⅱ)因為點在平面內(nèi)的射影恰為點,所以,
從而可知,故,且,
所以平面,則有,
不妨設(shè),則,,,,則,如圖所示,在平面與平面上分別過點,作的垂線,垂足重合,記為,
所以平面且平面,故平面平面,
過點作于點,則是與平面所成的角,
在中,,,所以,
又由,所以直線與平面所成的角為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】高爾頓(釘)板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行、水平間隔相等的圓柱形鐵釘(如圖),并且每一排釘子數(shù)目都比上一排多一個,一排中各個釘子恰好對準(zhǔn)上面一排兩相鄰鐵釘?shù)恼醒?從入口處放入一個直徑略小于兩顆釘子間隔的小球,當(dāng)小球從兩釘之間的間隙下落時,由于碰到下一排鐵釘,它將以相等的可能性向左或向右落下,接著小球再通過兩鐵釘?shù)拈g隙,又碰到下一排鐵釘.如此繼續(xù)下去,在最底層的5個出口處各放置一個容器接住小球.
(Ⅰ)理論上,小球落入4號容器的概率是多少?
(Ⅱ)一數(shù)學(xué)興趣小組取3個小球進(jìn)行試驗,設(shè)其中落入4號容器的小球個數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點F1、F2分別為雙曲線C:(a>0,b>0)的左、右焦點,點M(x0,y0)(x0<0)為C的漸近線與圓x2+y2=a2的一個交點,O為坐標(biāo)原點,若直線F1M與C的右支交于點N,且|MN|=|NF2|+|OF2|,則雙曲線C的離心率為_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】蜂巢是由工蜂分泌蜂蠟建成的.從正面看,蜂巢口是由許多正六邊形的中空柱狀體連接而成,中空柱狀體的底部是由三個全等的菱形面構(gòu)成.如圖,在正六棱柱的三個頂點處分別用平面,平面,平面截掉三個相等的三棱錐,,,平面,平面,平面交于點,就形成了蜂巢的結(jié)構(gòu),如下圖(4)所示,
瑞士數(shù)學(xué)家克尼格利用微積分的方法證明了蜂巢的這種結(jié)構(gòu)是在相同容積下所用材料最省的,英國數(shù)學(xué)家麥克勞林通過計算得到菱形的一個內(nèi)角為,即.以下三個結(jié)論①;② ;③四點共面,正確命題的個數(shù)為______個;若,,,則此蜂巢的表面積為_______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知
(1)若a=1,且f(x)≥m在(0,+∞)恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)當(dāng)時,若x=0不是f(x)的極值點,求實數(shù)a的取值.
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【題目】眾所周知的“太極圖”,其形狀如對稱的陰陽兩魚互抱在一起,也被稱為“陰陽魚太極圖”.如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”.整個圖形是一個圓形.其中黑色陰影區(qū)域在y軸右側(cè)部分的邊界為一個半圓,給出以下命題:
①在太極圖中隨機取一點,此點取自黑色陰影部分的概率是
②當(dāng)時,直線y=ax+2a與白色部分有公共點;
③黑色陰影部分(包括黑白交界處)中一點(x,y),則x+y的最大值為2;
④設(shè)點P(﹣2,b),點Q在此太極圖上,使得∠OPQ=45°,b的范圍是[﹣2,2].
其中所有正確結(jié)論的序號是( )
A.①④B.①③C.②④D.①②
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】四面體ABCD中,AB=CD=6,其余的棱長均為5,則與該四面體各個表面都相切的內(nèi)切球的半徑長等于_____.
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