Question

17．已知函數f（x）=x²+x-lnx．
（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處切線方程；  
（2）求函數f（x）的最值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，計算f（1），f′（1）的值，代入切線方程即可；
（2）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間，從而求出函數的最值即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=2x+1-$\frac{1}{x}$，f（1）=2，f′（1）=2，
故切線方程是：y-2=2（x-1），
即y=2x；
（2）f′（x）=2x+1-$\frac{1}{x}$=$\frac{（2x-1）（x+1）}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{2}$，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）遞減，在（$\frac{1}{2}$，+∞）遞增，
∴f（x）的最小值為$f（\frac{1}{2}）$=$\frac{3}{4}+ln2$，無最大值．

點評 本題考查了曲線的切線方程問題，考查導數的應用以及函數的單調性、最值問題，是一道基礎題．