Question

7．如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，PA=PC，PB=PD=AB．
（1）求證：平面PAC⊥平面ABCD；
（2）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AC與BD相交于點O，連接PO，根據(jù)三線合一得出PO⊥AC，PO⊥BD，故而PO⊥平面ABCD，得出平面PAC⊥平面ABCD；
（2）以O(shè)為原點，以O(shè)B，OD，OP為坐標軸建立空間直角坐標系，設(shè)AB=2，求出$\overrightarrow{PB}$和平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$，則|cos＜$\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{n}$＞|即為所求．

解答 （1）證明：設(shè)AC與BD相交于點O，連接PO
∵ABCD為菱形，∴O為AC，BD的中點．
∵PA=PC，PB=PD，
∴PO⊥AC，PO⊥BD．又AC∩BD=O，AC，BD?平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，
又PO?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面ABCD．
（2）解：∵ABCD為菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC為正三角形，AC⊥BD，
不妨設(shè)PB=PD=AB=2，則BO=$\sqrt{3}$，∴PO=1．
以O(shè)為原點，以O(shè)B，OD，OP為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，
∴P（0，0，1），B（$\sqrt{3}$，0，0），C（0，1，0），D（-$\sqrt{3}$，0，0）．
∴$\overrightarrow{PB}$=（$\sqrt{3}$，0，-1），$\overrightarrow{PC}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{PD}$=（-$\sqrt{3}$，0，-1）．
設(shè)平面PCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{{\begin{array}{l}{y-z=0}\\{-\sqrt{3}x-z=0}\end{array}}\right.$．令x=1得$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$）．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{PB}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{PB}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}•2}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∴直線PB與平面PCD所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．

點評 本題考查了面面垂直的判定，空間向量的應(yīng)用及線面角的計算，屬于中檔題．