Question

2010上海世博會期間，假設(shè)在6號門早晨6時30分有2人進園，第一個30分鐘內(nèi)有4人進去并出來1人，第二個30分鐘內(nèi)進去8人并出來2人，第三個30分鐘進去16人并出來3人，第四個30分鐘內(nèi)進去32人并出來4人…按照這種規(guī)律進行下去，到上午11時30分從6號門入園的人數(shù)是（　　）

A．2¹²-47

B．2¹²-57

C．2¹³-68

D．2¹⁴-80

Answer 1

分析：先設(shè)每個30分鐘進去的人數(shù)構(gòu)成數(shù)列{a_n}，確定求數(shù)列{a_n}的通項公式，由于從早晨6時30分到上午11時30分，共有11個30分鐘，故需求數(shù)列{a_n}的前11項和，再由等比數(shù)列前n項和公式即可得上午11時30分園內(nèi)的人數(shù)．

解答：解：設(shè)每個30分鐘進去的人數(shù)構(gòu)成數(shù)列{a_n}，則
a₁=2=2-0，a₂=4-1，a₃=8-2，a₄=16-3，a₅=32-4，…，a_n=2ⁿ-（n-1）
設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，依題意，
只需求S₁₁=（2-0）+（2²-1）+（2³-2）+…+（2¹¹-10）=（2+2²+2³+…+2¹¹）-（1+2+…+10）
=

2(1-211)

1-2

-

11×10

2

=2¹²-57
故選B．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列的前n項和公式，考查將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力，屬于中檔題．