Question

16．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，PA=PD=AD=2BC=2，CD=$\sqrt{3}$，PB=$\sqrt{6}$，Q是AD的中點(diǎn)．
（1）求證：平面PAD⊥底面ABCD；
（2）求三棱錐C-PBD的體積．

Answer 1

分析 （1）連接BQ，由ABCD為直角梯形，AD∥BC，AD=2BC，Q為AD的中點(diǎn)，得BCDQ為平行四邊形從而得到QB，在△PAD求得PQ．由PQ²+QB²=PB²，得PQ⊥BQ．結(jié)合線面垂直的判定得PQ⊥平面ABCD，進(jìn)一步得平面PAD⊥平面ABCD；
（2）求出△BCD的面積，結(jié)合（1）得到PQ⊥平面ABCD，PQ=$\sqrt{3}$，然后利用等積法求得三棱錐C-PBD的體積．

解答 證明：（1）連接BQ，
∵ABCD為直角梯形，AD∥BC，AD=2BC，Q為AD的中點(diǎn)，
∴BCDQ為平行四邊形，
又∵CD=$\sqrt{3}$，
∴QB=$\sqrt{3}$，
∵△PAD是邊長為2的正三角形，Q是AD的中點(diǎn)，
∴PQ⊥AD，PQ=$\sqrt{3}$．
在△PQB中，QB=$\sqrt{3}$，PB=$\sqrt{6}$，
∴PQ²+QB²=PB²，則PQ⊥BQ．
∵AD∩BQ=Q，AD，BQ?平面ABCD，
∴PQ⊥平面ABCD，又PQ?平面PAD，
∴平面PAD⊥平面ABCD；
解：（2）∵底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，
∴△BCD是直角三角形，其中∠BCD=90°，
∵BC=1，CD=$\sqrt{3}$，
∴${S}_{△BCD}=\frac{1}{2}BC•CD=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由（1）知，PQ⊥平面ABCD，PQ=$\sqrt{3}$，
∴${V}_{C-PBD}={V}_{P-BCD}=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}=\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查面面垂直的證明，體積的運(yùn)算，考察運(yùn)算求解能力﹑推理論證能力﹑空間想象能力，是中檔題．