Question

12．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，S_n+1=4a_n+2（n∈N^*），若b_n=a_n+1-2a_n，求b_n．

Answer 1

分析 S_n+1=4a_n+2（n∈N^*），n≥2時(shí)，S_n=4a_n-1+2，可得：a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），b_n=a_n+1-2a_n，b_n=2b_n-1．n=1時(shí)，1+a₂=4×1+2，解得a₂．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：∵S_n+1=4a_n+2（n∈N^*），∴n≥2時(shí)，S_n=4a_n-1+2，可得：a_n+1=4a_n+2-（4a_n-1+2），
∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），又b_n=a_n+1-2a_n，
∴b_n=2b_n-1．
n=1時(shí)，1+a₂=4×1+2，解得a₂=5．
b₁=a₂-2a₁=3．
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為3，公比為2．
∴b_n=3×2^n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．