Question

2．已知定義在（0，$\frac{π}{2}}$）上的函數(shù)f（x），f'（x）為其導(dǎo)數(shù)，且cosx•f（x）＜f'（x）•sinx恒成立，則（　�。�

• A． $\sqrt{3}$f（$\frac{π}{4}$）＞$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{3}$）
• B． $\sqrt{2}$f（$\frac{π}{6}$）＞f（$\frac{π}{4}$）
• C． $\sqrt{3}$f（$\frac{π}{6}$）＜f（$\frac{π}{3}$）
• D． f（1）＜2（$\frac{π}{6}$）sin1

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)g（x）的單調(diào)性，從而判斷出函數(shù)值的大小即可．

解答 解：由f′（x）sinx＞f（x）cosx，
則f′（x）sinx-f（x）cosx＞0，
構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，
則g′（x）=$\frac{f′（x）sinx-f（x）cosx}{{sin}^{2}x}$，
當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，g′（x）＞0，
即函數(shù)g（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞增，
∴g（$\frac{π}{6}$）＜g（$\frac{π}{3}$），
∴$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{6}$）＜f（$\frac{π}{3}$），
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性問題，構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．