Question

15．如圖，在平面直角坐標系xOy中，邊長為1的正△OAB的頂點A，B均在第一象限，設點A在x軸的射影為C，∠AOC=α．
（1）試將$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{CB}$表示α的函數f（α），并寫出其定義域；
（2）求函數f（α）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據題意，用α表示出$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$，求出$\overrightarrow{CB}$，
利用數量積個數計算f（α）并化簡，寫出α的取值范圍；
（2）根據α的取值范圍即可求出函數f（α）的值域．

解答 解：（1）根據題意，|$\overrightarrow{OA}$|=1，∠AOC=α，
∴$\overrightarrow{OA}$=（cosα，sinα），
$\overrightarrow{OB}$=（cos（α+$\frac{π}{3}$），sin（α+$\frac{π}{3}$）），
$\overrightarrow{OC}$=（cosα，0）；
∴$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$=（cos（α+$\frac{π}{3}$）-cosα，sin（α+$\frac{π}{3}$）），
∴f（α）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{CB}$=cosα[cos（α+$\frac{π}{3}$）-cosα]+sinαsin（α+$\frac{π}{3}$）
=cos[（α+$\frac{π}{3}$）-α]-cos²α
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1+cos2α}{2}$
=-$\frac{1}{2}$cos2α，其中α∈（0，$\frac{π}{6}$）；
（2）由（1）知，f（α）=-$\frac{1}{2}$cos2α，
α∈（0，$\frac{π}{6}$）時，2α∈（0，$\frac{π}{3}$），
cos2α∈（$\frac{1}{2}$，1），
∴-$\frac{1}{2}$cos2α∈（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$），
∴函數f（α）的值域為（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$）．

點評 本題考查了三角函數的恒等變換與數量積的計算問題，是中檔題．