Question

20．已知圓x²+y²=9內(nèi)有一點(diǎn)P（-1，2），AB為過(guò)點(diǎn)P的弦且傾斜角為θ．
（1）若θ=135°，求弦AB的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí)，求出直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由直線AB的斜率為-1，得到直線AB的方程為x+y-1=0，聯(lián)立直線方程與圓的方程，得x²-x-4=0，由此利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式，能求出AB的長(zhǎng)．
（2）設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y-2=k（x+1），由P為AB的中點(diǎn)，得OP丄AB，由斜率公式，求出直線OP斜率為-2，從而-2k=-1，由此求出k=$\frac{1}{2}$，由此能求出直線AB的方程．

解答 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵AB為過(guò)點(diǎn)P的弦且傾斜角為θ=135°，
∴依題意：直線AB的斜率為-1，
∴直線AB的方程為x+y-1=0，
聯(lián)立直線方程與圓的方程：$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=9}\end{array}\right.$，
得x²-x-4=0，
則x₁+x₂=-1，x₁x₂=-4，
由弦長(zhǎng)公式得AB=$\sqrt{（1+1）[（-1）^{2}-4×（-4）]}$=$\sqrt{34}$．（6分）
（2）設(shè)直線AB的斜率為k．
則直線AB的方程為y-2=k（x+1）；
∵P為AB的中點(diǎn)，∴OP丄AB，
由斜率公式，得直線OP斜率為k_OP=$\frac{2}{-1}$=-2，
則-2k=-1，解得k=$\frac{1}{2}$
∴直線AB的方程為：x-2y+5=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查弦長(zhǎng)的求法，考查直線方程的求法，考查圓、直線方程、點(diǎn)到直線距離公式、勾股定理、弦長(zhǎng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．