Question

7．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面AA₁C₁C底面ABC，AA₁=A₁C=AC=AB=BC=2，且點O為AC中點．
（Ⅰ）證明：A₁O⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A₁-AB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出A₁O⊥AC，由此利用側(cè)面AA₁C₁C⊥底面ABC，能證明A₁O⊥平面ABC．
（Ⅱ）以O為原點，OB，OC，OA₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A₁-AB-C的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）∵AA₁=A₁C，且O為AC的中點，∴A₁O⊥AC，…（2分）
又∵側(cè)面AA₁C₁C⊥底面ABC，交線為AC，且A₁O?平面AA₁C₁C，
∴A₁O⊥平面ABC．…（4分）
解：（Ⅱ）以O為原點，OB，OC，OA₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．
由已知可得O（0，0，0），A（0，-1，0），${A_1}（0，0，\sqrt{3}）$，$B（\sqrt{3}，0，0）$
∴$\overrightarrow{AB}=（\sqrt{3}，1，0）$，$\overrightarrow{{A_1}B}=（\sqrt{3}，0，-\sqrt{3}）$，
…（6分）
設平面AA₁B的一個法向量為$\overrightarrow m=（x，y，z）$，
則有$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow m•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow m•\overrightarrow{{A_1}B}=0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x+y=0}\\{\sqrt{3}x-\sqrt{3}z=0}\end{array}}\right.$，
令x=1，得$y=-\sqrt{3}$，z=1
∴$\overrightarrow m=（1，-\sqrt{3}，1）$…（8分）
∵A₁O⊥平面ABC
∴平面ABC的一個法向量$\overrightarrow n=（0，0，\sqrt{3}）$…（10分）
∴$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{1}{{\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
又二面角A₁-AB-C是銳角
∴二面角A₁-AB-C的余弦值為 $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$…（12分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．