Question

18．已知實數(shù)m＞1，定點A（-m，0），B（m，0），S為一動點，點S與A，B兩點連線的斜率之積為-$\frac{1}{m^2}$．
（Ⅰ）求動點S的軌跡C的方程，并指出它是哪一種曲線；
（Ⅱ）當m=$\sqrt{2}$時，問t取何值時，直線l：2x-y+t=0（t＞0）與曲線C有且僅有一個交點？
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，證明：直線l上橫坐標小于2的點P到點（1，0）的距離與到直線x=2的距離之比的最小值等于曲線C的離心率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設S（x，y），利用定點A（-m，0），B（m，0），S為一動點，點S與A，B兩點連線的斜率之積為-$\frac{1}{m^2}$，建立方程，化簡求動點S的軌跡C的方程，結合實數(shù)m＞1，可得曲線類型；
（Ⅱ）當m=$\sqrt{2}$時，求出橢圓C的方程．由直線l：2x-y+t=0（t＞0）與曲線C聯(lián)立得9x²+8tx+2t²-2=0，當△=64t²-36×2（t²-1）=0時，得t=3．此時直線l與曲線C有且只有一個交點；當△=64t²-36×2（t²-1）＞0，且直線2x-y+t=0恰好過點（-$\sqrt{2}$，0）時，t=2$\sqrt{2}$，此時直線l與曲線C有且只有一個交點．
（Ⅲ）直線l方程為2x-y+3=0．設點P（a，2a+3），a＜2，d₁表示P到點（1，0）的距離，d₂表示P到直線x=2的距離，則$\frac{na05yv5_{1}}{fph52ot_{2}}$=$\sqrt{5•\frac{{a}^{2}+10a+10}{（a-2）^{2}}}$，由此能證明$\frac{yxfxh8v_{1}}{0j5eg5n_{2}}$的最小值等于橢圓的離心率．

解答 （Ⅰ）解：設S（x，y），則
∵定點A（-m，0），B（m，0），S為一動點，點S與A，B兩點連線的斜率之積為-$\frac{1}{m^2}$，
∴$\frac{y}{x+m}•\frac{y}{x-m}$=-$\frac{1}{m^2}$，
∴$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+y²=1，
∵m＞1，
∴動點S的軌跡C表示橢圓；
（Ⅱ）解當m=$\sqrt{2}$時，橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
由直線l：2x-y+t=0（t＞0）與曲線C聯(lián)立得9x²+8tx+2t²-2=0，
當△=64t²-36×2（t²-1）=0時，t=±3，
∵t＞0，∴t=3．此時直線l與曲線C有且只有一個交點；
當△=64t²-36×2（t²-1）＞0，且直線2x-y+t=0恰好過點（-$\sqrt{2}$，0）時，
t=2$\sqrt{2}$，此時直線l與曲線C有且只有一個交點．
綜上，當t=3或t=2$\sqrt{2}$時，直線l與曲線C有且只有一個交點．
（Ⅲ）證明：直線l方程為2x-y+3=0．
設點P（a，2a+3），a＜2，d₁表示P到點（1，0）的距離，d₂表示P到直線x=2的距離，
則d₁=$\sqrt{（a-1）^{2}+（2a+3）^{2}}$=$\sqrt{5{a}^{2}+10a+10}$，d₂=2-a，
∴$\frac{04ugsiu_{1}}{h5ilxew_{2}}$=$\sqrt{5•\frac{{a}^{2}+10a+10}{（a-2）^{2}}}$，
令f（a）=$\frac{{a}^{2}+2a+2}{（a-2）^{2}}$，則f′（a）=-$\frac{6a+8}{（a-2）^{3}}$，
令f′（a）=0，得a=-$\frac{4}{3}$，
∵當a＜-$\frac{4}{3}$時，f′（a）＜0；
當-$\frac{4}{3}$＜a＜2時，f′（a）＞0，
∴f（a）在a=-$\frac{4}{3}$時，取得最小值，即$\frac{rux2uwy_{1}}{0p8yq12_{2}}$取得最小值$\sqrt{5f（-\frac{4}{3}）}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又橢圓C有離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{pkxpbz4_{1}}{8qdvyp0_{2}}$的最小值等于橢圓的離心率．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓C有且只有一個交點時實數(shù)值的求法，考查直線上橫坐標小于2的點P到點（1，0）的距離與到直線x=2的距離之比的最小值等于橢圓的離心率的證明，解題時要注意函數(shù)與方程思想的合理運用．