Question

6．已知函數(shù)f（x）=e^x+ae^-x為偶函數(shù)，則f（x-1）＞$\frac{{{e^4}+1}}{e^2}$的解集為（-∞，-1）∪（3，+∞）．

Answer 1

分析 利用函數(shù)的偶函數(shù)求出a，利用函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式求解不等式的解集即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=e^x+ae^-x為偶函數(shù)，
可得e^x+ae^-x=e^-x+ae^x，解得a=1．
函數(shù)f（x）=e^x+e^-x，當x＞0時，f′（x）=e^x-e^-x＞0，函數(shù)是增函數(shù)，
f（x-1）＞$\frac{{{e^4}+1}}{e^2}$=f（2），
可得|x-1|＞2，解得x∈（-∞，-1）∪（3，+∞）．
故答案為：（-∞，-1）∪（3，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．