Question

20．若函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}-bx+4$在點(diǎn)P（2，f（2））處的切線為$y=4x-\frac{10}{3}$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）討論方程f（x）=k實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，解方程可得a，b，進(jìn)而得到f（x）的解析式；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極值，結(jié)合圖象，即可得到方程解的情況．

解答 解：（1）∵函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}-bx+4$，
f'（x）=x²+2ax-b，
根據(jù)題意得f'（2）=4，即4a-b=0，
又$f（2）=8-\frac{10}{3}$，即有$\frac{8}{3}$+4a-2b+4=8-$\frac{10}{3}$，
解得$a=\frac{1}{2}，b=2$，
∴$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}-2x+4$；
（2）∵$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}-2x+4$，
∴f'（x）=x²+x-2=（x+2）（x-1），
令f'（x）＞0解得x＜-2或x＞1，f'（x）＜0解得-2＜x＜1，
即有f（x）的增區(qū)間為（-∞，-2），（1，+∞），減區(qū)間為（-2，1），
即有x=1處取得極小值，且為$\frac{17}{2}$，x=-2處取得極大值，且為$\frac{22}{3}$．
則當(dāng)k＜$\frac{17}{6}$或k＞$\frac{22}{3}$時(shí)，方程k=f（x）有一個(gè)解；
當(dāng)k=$\frac{17}{6}$或k=$\frac{22}{3}$時(shí)，方程k=f（x）有兩個(gè)解；
當(dāng)$\frac{17}{6}$＜k＜$\frac{22}{3}$時(shí)，方程k=f（x）有三個(gè)解．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題．