Question

9．已知數(shù)列{a_n}中a₁=2，a_n+1=2-$\frac{1}{{a}_{n}}$，數(shù)列{b_n}中，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$，其中n∈N^*．
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）設T_n是數(shù)列{（$\frac{1}{3}$）ⁿ•b_n}的前n項和，求證：T_n＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由條件可得可得b_n+1，再由條件b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$，從而得到b_n+1-b_n=1，由此證得結(jié)論．
（2）由（1）可知（$\frac{1}{3}$）ⁿ•b_n=n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，用錯位相減法求出T_n的解析式，從而可得要證的不等式成立．

解答 證明：（1）由a_n+1=2-$\frac{1}{{a}_{n}}$，
可得b_n+1=$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}-1}$，
而b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$，
∴b_n+1-b_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=1
∴{b_n}是首項為b₁=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$=1，公差為1的等差數(shù)列；
（2）證明：由（Ⅰ）可知b_n=n，（$\frac{1}{3}$）ⁿ•b_n=n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
則T_n=1•$\frac{1}{3}$+2•$\frac{1}{9}$+3•$\frac{1}{27}$+…+n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
$\frac{1}{3}$T_n=1•$\frac{1}{9}$+2•$\frac{1}{27}$+3•$\frac{1}{81}$+…+n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
兩式相減可得，$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{27}$+…+（$\frac{1}{3}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
化簡可得，T_n=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{4•{3}^{n-1}}$-$\frac{n}{2•{3}^{n}}$＜$\frac{3}{4}$．
故T_n＜$\frac{3}{4}$．

點評 本題主要考查等差關系的確定，等比數(shù)列的前n項和公式的應用，用錯位相減法對數(shù)列求和，數(shù)列與不等式的綜合應用，屬于中檔題．