Question

4．已知實(shí)數(shù)a，b滿足|a+b|≤2，求證：|a²+2a-b²+2b |≤4（|a|+2）．

Answer 1

分析 運(yùn)用絕對(duì)值不等式可得|b|-|a|≤|a+b|≤2，可得|b|≤|a|+2，將原不等式左邊分解因式，結(jié)合分析法證明，即可得證．

解答 證明：由|b|-|a|≤|a+b|≤2，可得|b|≤|a|+2，
|a²+2a-b²+2b |=|（a+b）（a-b）+2（a+b）|
=|a+b|•|a-b+2|≤2|a-b+2|，
要證|a²+2a-b²+2b |≤4（|a|+2），
即證|a-b+2|≤2（|a|+2），
由于|a-b+2|≤|a|+|b|+2，
即證|a|+|b|+2≤2（|a|+2），
即為|b|≤|a|+2，顯然成立．
故原不等式成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，以及分析法證明，考查推理能力，屬于中檔題．