Question

13．（1）已知a＞b＞0，c＞d＞0．求證：$\frac{ac}{a+c}$＞$\frac{bd}{b+d}$；
（2）已知c＞a＞b＞0，求證：$\frac{a}{c-a}$＞$\frac{c-b}$．

Answer 1

分析 （1）運用分析法證明，即證ac（b+d）＞bd（a+c），即為ab（c-d）+（cd（a-b）＞0，由條件運用不等式的性質(zhì)即可得證；
（2）運用分析法證明，由條件即證a（c-b）＞b（c-a），展開運用不等式的可乘性，即可得證．

解答 證明：（1）要證$\frac{ac}{a+c}$＞$\frac{bd}{b+d}$，
由a＞b＞0，c＞d＞0，即證ac（b+d）＞bd（a+c），
即有abc+acd＞abd+bcd，
即為ab（c-d）+（cd（a-b）＞0，
由c＞d＞0，即c-d＞0，a＞b＞0，即a-b＞0，
上式顯然成立．
故原不等式成立；
（2）要證$\frac{a}{c-a}$＞$\frac{c-b}$，
由c＞a＞b＞0，即c-a＞0，c-b＞0，
即證a（c-b）＞b（c-a），
即為ac-ab＞bc-ab，即ac＞bc，
由c＞a＞b＞0，顯然成立．
故原不等式成立．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用分析法證明，考查化簡整理的運算能力，屬于基礎(chǔ)題．