Question

19．如圖，某城市有一個(gè)五邊形的地下污水管通道ABCDE，四邊形BCDE是矩形，其中CD=8km，BC=3km；△ABE是以BE為底邊的等腰三角形，AB=5km．現(xiàn)欲在BE的中間點(diǎn)P處建地下污水處理中心，為此要過點(diǎn)P建一個(gè)“直線型”的地下水通道MN接通主管道，其中接口處M點(diǎn)在矩形BCDE的邊BC或CD上．
（1）若點(diǎn)M在邊BC上，設(shè)∠BPM=θ，用θ表示BM和NE的長；
（2）點(diǎn)M設(shè)置在哪些地方，能使點(diǎn)M，N平分主通道ABCDE的周長？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件結(jié)合三角形的邊角公式建立函數(shù)關(guān)系即可．
（2）根據(jù)正弦定理結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解．

解答 解：（1）當(dāng)點(diǎn)M在邊BC上，設(shè)∠BPM=θ$（0≤tanθ≤\frac{3}{4}）$，
在Rt△BPM中，BM=BP•tanθ=4tanθ．
在△PEN中，不妨設(shè)∠PEN=α，其中$sinα=\frac{3}{5}，cosα=\frac{4}{5}$，則$\frac{PE}{sin（π-θ-α）}=\frac{NE}{sinθ}$，
即$NE=\frac{4sinθ}{sin（θ+α）}=\frac{20sinθ}{4sinθ+3cosθ}=\frac{20tanθ}{4tanθ+3}$；

（2）當(dāng)點(diǎn)M在邊BC上，由BM+AB+AN=MC+CD+DE+EN，BM-NE=2；
即$2tanθ-\frac{10tanθ}{4tanθ+3}=1$；即8tan²θ-8tanθ-3=0，解得$tanθ=\frac{{2±\sqrt{10}}}{4}$．
∵$tanθ=\frac{{2-\sqrt{10}}}{4}＜0，tanθ=\frac{{2+\sqrt{10}}}{4}＞\frac{3}{4}$與$0≤tanθ≤\frac{3}{4}$矛盾，點(diǎn)只能設(shè)在CD上．
當(dāng)點(diǎn)M在邊CD上，設(shè)CD中點(diǎn)為Q，由軸對(duì)稱不妨設(shè)M在CQ上，此時(shí)點(diǎn)N在線段AE上；設(shè)∠MPQ=θ$（0≤tanθ≤\frac{4}{3}）$，
在Rt△MPQ中，MQ=PQ•tanθ=3tanθ；
在△PAN中，不妨設(shè)∠PAE=β，其中$sinβ=\frac{4}{5}，cosβ=\frac{3}{5}$；
則$\frac{PA}{sin（π-θ-β）}=\frac{AN}{sinθ}$，即$AN=\frac{3sinθ}{sin（θ+β）}=\frac{15sinθ}{3sinθ+4cosθ}=\frac{15tanθ}{3tanθ+4}$；
由MC+CB+BA+AN=MQ+QD+DE+EN，得AN=MQ，即$3tanθ=\frac{15tanθ}{3tanθ+4}$；解得tanθ=0或$tanθ=\frac{1}{3}$；
故當(dāng)CM=4，或者$CM=4-3×\frac{1}{3}=3$時(shí)，符合題意．
答：當(dāng)點(diǎn)M位于CD中點(diǎn)Q處，或點(diǎn)M到點(diǎn)C的距離為3km時(shí)，才能使點(diǎn)M，N平分地下水總通道ABCDE的周長．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用問題，根據(jù)正弦定理建立方程公式以及利用三角函數(shù)的公式進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．