Question

已知四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PB=PD，E為PA的中點．
（1）求證：PC∥平面BDE；
（2）若PB=BC=2，二面角P-BD-C的大小為60°，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）連結DE，AC，BD，交于點O，連結OE，由已知得OE∥PC，由此能證明PC∥平面BDE．
（2）連結PO，∠POC是二面角P-BD-C的平面角，∠POC=60°，過P作PF⊥平面ABCD，交OC于F，PF=PO•sin60°=

2

×

3

2

=

6

2

，S_{正方形ABCD}=2×2=4，由此能求出四棱錐P-ABCD的體積．

解答： （1）證明：連結DE，AC，BD，交于點O，連結OE，
∵ABCD的是正方形，∴O是AC中點，
∵E為PA的中點，∴OE∥PC，
∵OE?平面BDE，PC?平面BDE，
∴PC∥平面BDE．
（2）解：連結PO，
由已知得PO⊥BD，CO⊥BD，
∴∠POC是二面角P-BD-C的平面角，故∠POC=60°，
∴PO=OC=PC=

2

，
過P作PF⊥平面ABCD，交OC于F，
PF=PO•sin60°=

2

×

3

2

=

6

2

，
S_{正方形ABCD}=2×2=4，
∴四棱錐P-ABCD的體積V=

1

3

×S正方形ABCD×PF=

1

3

×4×

6

2

=

2 6

3

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查四棱錐的體積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．