Question

1．過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，分別過A、B兩點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A′、B′兩點(diǎn)，以線段A′B′為直徑的圓C過點(diǎn)（-2，3），則圓C的方程為（　�。�

• A． （x+1）²+（y-2）²=2
• B． （x+1）²+（y-1）²=5
• C． （x+1）²+（y+1）²=17
• D． （x+1）²+（y+2）²=26

Answer 1

分析 設(shè)AB的斜率為k，得出AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立方程組，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出圓的圓心坐標(biāo)和半徑，把（-2，3）代入圓方程解出k，從而得出圓的方程．

解答 解：拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1，焦點(diǎn)F（1，0）．
設(shè)AB的方程為y=k（x-1），聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，得y²-$\frac{4}{k}$y-4=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=-4．
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=4$\sqrt{\frac{1}{{k}^{2}}+1}$．
∴以A′B′為直徑圓的圓C的圓心為（-1，$\frac{2}{k}$），半徑為2$\sqrt{\frac{1}{{k}^{2}}+1}$．
圓C的方程為（x+1）²+（y-$\frac{2}{k}$）²=4（$\frac{1}{{k}^{2}}$+1）．
把（-2，3）代入圓的方程得1+（3-$\frac{2}{k}$）²=4（$\frac{1}{{k}^{2}}$+1）．解得k=2．
∴圓C的方程為：（x+1）²+（y-1）²=5．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．