Question

17．某集團公司為了獲得更大的收益，決定以后每年投入一筆資金用于廣告促銷．經(jīng)過市場調(diào)查，每年投入廣告費t百萬元，可增加銷售額約（2t+$\frac{5}{t+2}$-$\frac{5}{2}$）百萬元（t≥0）．
（1）若公司當(dāng)年新增收益不少于1.5百萬元，求每年投放廣告費至少多少百萬元？
（2）現(xiàn)公司準(zhǔn)備投入6百萬元分別用于當(dāng)年廣告費和新產(chǎn)品開發(fā)，經(jīng)預(yù)測，每投入新產(chǎn)品開發(fā)費x百萬元，可增加銷售額約（$\frac{21}{x-8}$+3x+$\frac{21}{8}$）百萬元，問如何分配這筆資金，使該公司獲得新增收益最大？（新增收益=新增銷售額-投入）

Answer 1

分析 （1）設(shè)投入t（t百萬元）的廣告費后增加的收益為f（t）（百萬元），則有f（t）=（-t²+5t）-t=-t²+4t，解不等式可得結(jié)論；
（2）根據(jù)題意，投入新產(chǎn)品開發(fā)費x百萬元（0≤x≤6），則用于當(dāng)年廣告費為（6-x）（百萬元），則獲得新增收益為g（x）=$\frac{21}{x-8}$+3x+$\frac{21}{8}$+2（6-x）+$\frac{5}{8-x}$-$\frac{5}{2}$-6=$\frac{16}{x-8}$+x+$\frac{49}{8}$，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)投入t（t百萬元）的廣告費后增加的收益為f（t）（百萬元），
則有f（t）=（-t²+5t）-t=-t²+4t=-（t-2）²+4（0＜t≤3），
-t²+4t≥1.5，0＜t≤3，解得2-$\frac{\sqrt{10}}{2}$≤t≤3，
∴每年投放廣告費至少2-$\frac{\sqrt{10}}{2}$百萬元．（6分）
（2）設(shè)投入新產(chǎn)品開發(fā)費x百萬元（0≤x≤6），則用于當(dāng)年廣告費為（6-x）（百萬元），
則獲得新增收益為g（x）=$\frac{21}{x-8}$+3x+$\frac{21}{8}$+2（6-x）+$\frac{5}{8-x}$-$\frac{5}{2}$-6=$\frac{16}{x-8}$+x+$\frac{49}{8}$
=-[$\frac{16}{8-x}$+（8-x）]+$\frac{113}{8}$$≤-2\sqrt{16}$+$\frac{113}{8}$=$\frac{49}{8}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{16}{8-x}$=8-x，即x-4時，g（x）有最大值$\frac{49}{8}$．
即將4百萬元用于新產(chǎn)品開發(fā)，2百萬元用于廣告費，該公司由此獲得的收益最大．（12分）

點評 本題主要考查函數(shù)模型的建立和應(yīng)用，還考查了二次函數(shù)法和基本不等式研究函數(shù)的最值的基本方法．