Question

8．已知|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow$|=8，|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=4$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）計(jì)算：①$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$，②|4$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|
（Ⅱ）若（$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$）⊥（k$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$），求實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用向量的平方即為模的平方，計(jì)算即可得到所求值；
（Ⅱ）運(yùn)用向量垂直的條件：數(shù)量積為0，化簡整理解方程可得k的值．

解答 解：（Ⅰ）①∵|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|²=$\overrightarrow{a}$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\overrightarrow$²=16+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+64=48，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-16；                 
②∵|4$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|²=16$\overrightarrow{a}$²-16$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+4$\overrightarrow$²
=16×16-16×（-16）+4×64=16×16×3，
∴|4$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|=16$\sqrt{3}$；
（Ⅱ）∵（$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$）⊥（k$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$），
∴（$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$）•（k$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$）=0，
∴k$\overrightarrow{a}$²+（2k-1）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-2$\overrightarrow$²=0，
即16k-16（2k-1）-2×64=0．∴k=-7．
即k=-7時(shí)，$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$與k$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$垂直．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)用，考查向量垂直的條件：數(shù)量積為0，向量的平方即為模的平方，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．