Question

8．已知f（x）=$\frac{x-m}{{x}^{2}+1}$是奇函數(shù)，g（x）=x²+nx+1為偶函數(shù)．
（1）求m，n的值；
（2）不等式3f（sinx）•g（sinx）＞g（cosx）-λ對任意x∈R恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)建立方程關(guān)系進行求解即可．
（2）將不等式進行化簡，利用參數(shù)分離法把不等式恒成立問題進行轉(zhuǎn)化，求最值即可．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{x-m}{{x}^{2}+1}$是奇函數(shù)，∴f（0）=0，即f（0）=-m=0，則m=0，
∵g（x）=x²+nx+1為偶函數(shù)．
∴對稱軸x=-$\frac{n}{2}$=0，即n=0．
（2）由（1）知f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，g（x）=x²+1，
則3f（sinx）•g（sinx）=$\frac{3sinx}{sin^2x+1}$（sin²x+1）=3sinx，
則不等式3f（sinx）•g（sinx）＞g（cosx）-λ對任意x∈R恒成立，
等價為不等式3sinx＞g（cosx）-λ=cos²x+1-λ對任意x∈R恒成立，
即λ＞cos²x-3sinx+1恒成立，
∵cos²x-3sinx+1=-（sinx+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{17}{4}$∈[-2，4]，
∴λ＞4，
即實數(shù)λ的取值范圍是（4，+∞）．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用以及不等式恒成立問題，利用參數(shù)分離法是解決不等式恒成立問題的常方法．